Формула для расчета выборочной дисперсии по средней:
V = Σ (Xi - X̄)² / (n - 1),
где V - выборочная дисперсия по средней,
Xi - каждое значение выборки,
X̄ - среднее значение выборки,
n - количество значений в выборке.
Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять, как использовать выборочную дисперсию по средней. Представим, что у нас есть выборка из 5 оценок по математике: 80, 85, 90, 95, 100. Сначала мы вычисляем среднее значение выборки, сложив все оценки и разделив на их количество: (80 + 85 + 90 + 95 + 100) / 5 = 90. Затем мы вычитаем среднее значение из каждого значения выборки и возводим в квадрат: (80 - 90)², (85 - 90)², (90 - 90)², (95 - 90)², (100 - 90)². Затем суммируем все эти значения и делим на количество значений в выборке минус 1: ( (80 - 90)² + (85 - 90)² + (90 - 90)² + (95 - 90)² + (100 - 90)² ) / (5 - 1). Полученный результат будет выборочной дисперсией по средней.
Выборочная дисперсия по средней: определение и примеры
Определение выборочной дисперсии по средней:
Выборочная дисперсия по средней вычисляется следующим образом:
1. Вычислите среднее значение выборки.
2. Для каждого значения выборки вычислите разницу между этим значением и средним значением выборки.
3. Возведите разницы в квадрат.
4. Просуммируйте все квадраты разностей.
5. Поделите сумму на количество значений в выборке минус 1.
Пример:
Представим, что у нас есть следующие значения выборки: 2, 4, 6, 8, 10. Чтобы вычислить выборочную дисперсию по средней, мы сначала найдем среднее значение выборки. В данном случае среднее значение равно 6.
Затем вычисляем разницы между каждым значением выборки и средним значением выборки:
2 - 6 = -4
4 - 6 = -2
6 - 6 = 0
8 - 6 = 2
10 - 6 = 4
После этого мы возводим каждую разницу в квадрат:
(-4)^2 = 16
(-2)^2 = 4
(0)^2 = 0
(2)^2 = 4
(4)^2 = 16
Затем мы суммируем все квадраты разностей:
16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
Последний шаг - мы делим сумму на количество значений в выборке минус 1:
40 / (5 - 1) = 10
Таким образом, выборочная дисперсия по средней для данной выборки равна 10.
Определение выборочной дисперсии
Формула выборочной дисперсии выглядит следующим образом:
| Формула выборочной дисперсии |
|---|
| $$ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{n-1} $$ |
Где:
- S^2 - выборочная дисперсия;
- x_i - значение i-го элемента выборки;
- \overline{x} - среднее значение выборки;
- n - количество элементов в выборке.
Выборочная дисперсия является важным показателем для анализа данных. Большое значение выборочной дисперсии указывает на большой разброс значений в выборке, тогда как низкое значение указывает на более однородный набор данных.
Пример: Представим, что у нас есть выборка из 10 значений: [5, 7, 3, 9, 6, 8, 4, 2, 10, 1]. Чтобы найти выборочную дисперсию, мы вычисляем среднее значение выборки: (5+7+3+9+6+8+4+2+10+1)/10 = 5.5. Затем мы находим отклонения каждого значения от среднего значения и возводим их в квадрат: (5-5.5)^2, (7-5.5)^2, (3-5.5)^2, ..., (1-5.5)^2. После этого суммируем все квадраты и делим на количество элементов в выборке минус один: (1+1.5+5.5+14.5+0.5+4.5+2.5+12.5+18.5+22.5) / 9 = 9.6111. Итак, выборочная дисперсия для данной выборки равна 9.6111.
Примеры выборочной дисперсии
Пример 1:
Представим, что у нас есть выборка из 10 значений: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Чтобы вычислить выборочную дисперсию по средней, необходимо выполнить следующие шаги:
- Вычислить среднее значение выборки: (5+6+7+8+9+10+11+12+13+14) / 10 = 9.5
- Вычислить отклонение каждого значения от среднего: (5-9.5)^2, (6-9.5)^2, ..., (14-9.5)^2
- Сложить все отклонения: (5-9)^2 + (6-9)^2 + (7-9)^2 + (8-9)^2 + (9-9)^2 + (10-9)^2 + (11-9)^2 + (12-9)^2 + (13-9)^2 + (14-9)^2 = 82.5
- Разделить сумму отклонений на количество элементов в выборке, минус единица: 82.5 / (10-1) = 9.17
Таким образом, выборочная дисперсия по средней для данной выборки равна 9.17.
Пример 2:
Представим, что у нас есть выборка из 6 значений: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Чтобы вычислить выборочную дисперсию по средней, следуем вышеуказанным шагам:
- Вычислить среднее значение выборки: (2+4+6+8+10+12) / 6 = 7
- Вычислить отклонение каждого значения от среднего: (2-7)^2, (4-7)^2, ..., (12-7)^2
- Сложить все отклонения: (2-7)^2 + (4-7)^2 + (6-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2 + (12-7)^2 = 70
- Разделить сумму отклонений на количество элементов в выборке, минус единица: 70 / (6-1) = 14
Выборочная дисперсия по средней для этой выборки составляет 14.
По аналогии можно вычислить выборочную дисперсию по средней для любой другой выборки. Этот показатель помогает оценить разброс значений и удобен для сравнения различных выборок.
