Решение квадратных уравнений является одной из базовых задач алгебры. Обычно квадратное уравнение имеет два корня, но иногда оно может иметь только один корень. Квадратное уравнение с одним корнем имеет свои особенности и является особым случаем.
Квадратное уравнение с одним корнем имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c — коэффициенты, причем a не равно нулю. Чтобы такое уравнение имело только один корень, дискриминант должен быть равен нулю: D = b^2 — 4ac = 0.
Решение квадратного уравнения с одним корнем проще, чем с двумя корнями. Для нахождения этого корня можно воспользоваться формулами Виета или квадратным трехчленом.
Пример квадратного уравнения с одним корнем: x^2 — 6x + 9 = 0. В данном случае a = 1, b = -6 и c = 9. Подставляя эти значения в формулы Виета или используя квадратный трехчлен, мы получим, что корень уравнения равен x = 3.
Определение и свойства
Квадратное уравнение с одним корнем, также известное как уравнение с двойным корнем, — это особый случай, при котором дискриминант равен нулю. Дискриминант — это выражение под корнем в формуле дискриминанта, которая используется для нахождения корней уравнения.
Основные свойства квадратных уравнений с одним корнем:
- Уравнение имеет ровно один корень, то есть уравнение имеет единственное решение.
- График квадратного уравнения с одним корнем будет представлять собой параболу, которая касается оси X.
- Решение этого уравнения можно найти с использованием формулы дискриминанта, однако в данном случае дискриминант будет равен нулю.
Примеры квадратных уравнений с одним корнем:
1. x2 + 6x + 9 = 0
2. 4x2 — 8x + 4 = 0
3. 16x2 + 8x + 1 = 0
Во всех этих примерах уравнения имеют одинаковые корни, так как дискриминант в них равен нулю.
Как решить квадратное уравнение с одним корнем?
Квадратные уравнения могут иметь различное количество корней: ноль, один, два или бесконечное число корней. Когда уравнение имеет только один корень, это обозначает, что значением переменной будет только одно число, удовлетворяющее уравнению. Решение квадратного уравнения с одним корнем могут получить, следуя нескольким шагам.
Шаг 1: Запишите уравнение в стандартной форме. Квадратное уравнение может иметь вид ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c являются коэффициентами, а x — переменная.
Шаг 2: Проверьте, что дискриминант уравнения равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac. Если D равен нулю, то уравнение имеет только один корень.
Шаг 3: Решите квадратное уравнение с помощью формулы корней. Для уравнения с одним корнем используется формула x = -b/2a. Подставьте значения коэффициентов в данную формулу и вычислите значение переменной x.
Например, рассмотрим уравнение 2x^2 + 4x + 2 = 0. Подставим значения коэффициентов в формулу корней: x = -4/(2*2) = -1. Таким образом, корнем данного уравнения является число -1.
Примеры квадратных уравнений с одним корнем
Примером квадратного уравнения с одним корнем является уравнение:
x2 — 4x + 4 = 0
Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле D = b2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты из уравнения.
В данном примере a = 1, b = -4 и c = 4. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
D = (-4)2 — 4 * 1 * 4 = 16 — 16 = 0
Дискриминант равен нулю, что означает, что уравнение имеет ровно один корень. Решив это уравнение, получаем:
x = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2
Таким образом, уравнение x2 — 4x + 4 = 0 имеет один корень x = 2.
Очевидно, что такое же значение x будет являться корнем уравнения (x — 2)2 = 0. Это уравнение также имеет ровно один корень x = 2.
Приведенный пример демонстрирует особенность квадратных уравнений с одним корнем — они представляют собой полные квадраты биномов (разность двух одинаковых множителей).