Трапеция с вписанной окружностью — это фигура, в которой окружность касается всех сторон трапеции. Она обладает рядом интересных свойств и может быть использована в различных задачах. Одна из таких задач — определить высоту трапеции, зная радиус вписанной окружности и длины оснований.
Для решения этой задачи используется свойство связи радиуса окружности с высотой трапеции. Согласно этому свойству, высоту трапеции можно выразить через радиус и длины оснований. Формула для нахождения высоты трапеции имеет вид:
h = 2 * R * √((a + b) * (a — b)) / (a + b),
где h — высота трапеции, R — радиус вписанной окружности, a и b — длины оснований трапеции.
Для наглядности рассмотрим пример. Пусть радиус вписанной окружности равен 5 см, а длины оснований составляют 10 см и 8 см. Используя формулу, найдем высоту трапеции:
Определение высоты трапеции с вписанной окружностью
Для определения высоты трапеции, в которую вписана окружность, можно использовать следующий алгоритм:
1. Найдите диаметр вписанной окружности. Для этого проведите две взаимно перпендикулярные хорды наокружности и найдите их точку пересечения.
2. Разделите диаметр на две половины, чтобы получить радиус окружности.
3. Найдите прямоугольный треугольник внутри трапеции, у которого одна сторона является радиусом окружности, а две другие стороны — основаниями трапеции.
4. Используя теорему Пифагора, найдите длину высоты треугольника.
5. Полученная в пункте 4 длина будет являться высотой трапеции с вписанной окружностью.
В таблице ниже приведены примеры вычисления высоты трапеции:
| Диаметр окружности (D) | Радиус окружности (r) | Основание трапеции (a) | Основание трапеции (b) | Высота треугольника (h) | Высота трапеции (H) |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 5 | 6 | 8 | 3 | 3 |
| 16 | 8 | 10 | 12 | 5 | 5 |
| 20 | 10 | 15 | 18 | 8 | 8 |
Здесь D — диаметр окружности, r — радиус окружности, a и b — основания трапеции, h — высота прямоугольного треугольника, H — высота трапеции.
Формула высоты трапеции с вписанной окружностью
Для вычисления высоты трапеции, в которой вписана окружность, можно использовать следующую формулу:
| h = 2r |
Где:
- h — высота трапеции
- r — радиус вписанной окружности
Радиус вписанной окружности можно найти, зная длины оснований трапеции и полупериметр трапеции по формуле:
| r = \sqrt{\frac{a \cdot b}{a+b-2c}} |
Где:
- a, b — длины оснований трапеции
- c — длина бокового сторона трапеции
После нахождения радиуса вписанной окружности, можно легко вычислить высоту трапеции, умножив радиус на 2:
| h = 2r |
Используя эти формулы, вы сможете легко находить высоту трапеции с вписанной окружностью.
Шаги для определения высоты трапеции:
- Найдите длины оснований трапеции. Обозначим их как a и b.
- Найдите длины прямых угловых сторон трапеции. Их можно найти с помощью теоремы Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, образованному основаниями и высотой трапеции.
- Найдите полупериметр трапеции, сложив длины всех сторон и поделив полученную сумму на 2.
- Найдите радиус вписанной окружности, который равен полупериметру, разделенному на разность длин оснований трапеции.
- Найдите высоту трапеции, умножив длину радиуса вписанной окружности на 2.
Теперь у вас есть подробное руководство по определению высоты трапеции с вписанной окружностью. Помните, что использование формул и правильные вычисления очень важны для получения точных результатов. Практикуйтесь и тренируйтесь, чтобы стать опытнее в решении подобных задач!
Пример 1: Вычисление высоты трапеции
Рассмотрим пример, чтобы наглядно показать, как можно вычислить высоту трапеции с вписанной окружностью.
Пусть дана трапеция ABCD, в которой сторона AB является основанием, сторона CD — верхним основанием, а стороны AD и BC — боковыми сторонами. Дана также окружность, вписанная в данную трапецию, которая касается сторон AB, BC, CD и AD в точках E, F, G и H соответственно.
| Величина | Обозначение | Значение |
|---|---|---|
| Длина основания AB | a | 8 см |
| Длина верхнего основания CD | b | 4 см |
| Высота трапеции | h | ? |
| Радиус вписанной окружности | r | 2 см |
Мы хотим найти высоту трапеции h. Для этого воспользуемся свойством трапеции: сумма длин оснований, умноженная на высоту, равна удвоенной площади трапеции.
Площадь трапеции можно найти, используя формулу: S = (a + b) * h / 2.
Также, известно, что радиус вписанной окружности r равен высоте, опущенной из вершины трапеции на основание AB, то есть r = h.
Теперь мы можем составить уравнение, подставив известные значения:
(a + b) * h / 2 = r * (a + b)
Раскроем скобки:
a*h + b*h = 2r * (a + b)
Подставим значение r = 2 см:
a*h + b*h = 4 * (a + b)
Упростим уравнение:
a*h + b*h = 4a + 4b
Вынесем общий множитель h:
h*(a + b) = 4a + 4b
Разделим обе части уравнения на (a + b):
h = (4a + 4b) / (a + b)
Подставим известные значения:
h = (4 * 8 + 4 * 4) / (8 + 4) = 48/12 = 4
Таким образом, высота трапеции равна 4 см.
Пример 2: Вычисление высоты трапеции с округлением
Рассмотрим следующий пример: имеется трапеция со сторонами AB = 8 см, CD = 12 см и основаниями AC = 16 см и BD = 10 см. Необходимо вычислить высоту этой трапеции.
Для начала, найдем радиус вписанной окружности. По свойству вписанной окружности, радиус и основание трапеции образуют прямоугольный треугольник с высотой, равной радиусу. Из этого треугольника можем найти радиус по формуле:
| Стороны треугольника | Формула | Результат |
|---|---|---|
| AC | 16 см | |
| BD | 10 см | |
| AB | 8 см | |
| Радиус (r) | r = √((s — a)(s — b)(s — c) / s) | 2 см |
Далее, мы можем использовать формулу для вычисления высоты трапеции:
| Формула | Результат |
|---|---|
| h = 2 * (a + b) / (c — d) | 6 см |
Таким образом, получаем, что высота данной трапеции равна 6 см.
Пример 3: Вычисление высоты трапеции с десятичной разделительной точкой
Для примера, предположим, что мы имеем трапецию с верхним основанием длиной 5,6 сантиметра, нижним основанием длиной 11,2 сантиметра и длиной боковой стороны 7,8 сантиметра. Чтобы найти высоту трапеции, мы можем использовать формулу:
h = 2A/(a + b),
где h — высота, A — площадь трапеции, a и b — длины верхнего и нижнего оснований соответственно.
Сначала найдем площадь трапеции, используя формулу:
A = 0,5(a + b)h.
Подставив значения соответствующих сторон трапеции в формулу, получим:
A = 0,5(5,6 + 11,2)h = 0,5 * 16,8h = 8,4h.
Далее, подставим значение площади и длины верхнего и нижнего оснований в формулу высоты:
h = 2 * 8,4h / (5,6 + 11,2) = 16,8h / 16,8 = h = 1 сантиметр.
Таким образом, высота данной трапеции с десятичной разделительной точкой равна 1 сантиметру.