Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) и дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — два основных представления логических выражений. Хотя эти формы имеют разные структуры, они позволяют представить любое логическое выражение и легко анализировать его поведение.
Составление КНФ и ДНФ по таблице истинности — это процесс нахождения соответствующих логических выражений, которые удовлетворяют определенному набору истинностных значений. Этот подход особенно полезен, когда вы знаете все возможные значения переменных и хотите найти соответствующее выражение, которое их определяет.
Для составления КНФ сначала определяются все наборы значений переменных для истинного выражения, а затем из этих наборов формируются конъюнкции, где используются все переменные в их истинном и ложном значении. Для составления ДНФ делается тоже самое, но результатом являются дизъюнкции.
Представим, что у нас есть следующая таблица истинности:
| A | B | C | Выражение |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Используя данную таблицу, мы можем составить КНФ путем составления конъюнкции для каждой строки таблицы, в которой выражение принимает значение 1. Таким образом, КНФ для данной таблицы будет следующей:
(¬A∧¬B∧C)∨(¬A∧B∧¬C)∨(A∧¬B∧¬C)∨(A∧B∧C)
Аналогично, ДНФ может быть составлена путем составления дизъюнкции для каждой строки таблицы, в которой выражение принимает значение 0. Таким образом, ДНФ для данной таблицы будет следующей:
(¬A∨¬B∨¬C)∧(¬A∨¬B∨C)∧(¬A∨B∨¬C)∧(A∨¬B∨¬C)
Таким образом, составление КНФ и ДНФ по таблице истинности является полезным инструментом для анализа и работы с логическими выражениями. Оно позволяет легко представлять их в символьной форме и проводить различные операции над ними.
Составление КНФ по таблице истинности
Для составления КНФ по таблице истинности необходимо выполнить следующие шаги:
- Проанализировать таблицу истинности и выделить строки, в которых значение истинности равно 1.
- Для каждой строки, в которой значение истинности равно 1, составить конъюнкцию переменных, используя обычные логические операции и отрицания.
- Объединить все полученные конъюнкции в единую дизъюнкцию, используя операцию дизъюнкции.
Рассмотрим пример. Пусть дана следующая таблица истинности для выражения A ∨ (B ∧ C):
| A | B | C | A ∨ (B ∧ C) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Из таблицы видно, что выражение A ∨ (B ∧ C) принимает значение 1 для строк 4, 5, 6 и 7.
Составляем конъюнкцию переменных для каждой из этих строк:
(¬A ∧ ¬B ∧ C), (¬A ∧ B ∧ ¬C), (¬A ∧ B ∧ C), (A ∧ B ∧ C)
Далее объединяем полученные конъюнкции в единую дизъюнкцию:
(¬A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C)
Таким образом, КНФ для выражения A ∨ (B ∧ C) будет равна (¬A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C).
Составление ДНФ по таблице истинности
Составление ДНФ по таблице истинности — это процесс построения логического выражения в виде ДНФ, исходя из заданной таблицы истинности для данной логической функции.
1. Определите столбцы таблицы истинности, в которых функция принимает значение «Истина» (1).
2. Для каждой строки таблицы, в которой значение функции истинно (1), составьте элементарную конъюнкцию, в которой каждая переменная присутствует в отрицательной или положительной форме.
3. Комбинируйте элементарные конъюнкции с помощью оператора «ИЛИ» (дизъюнкции) для получения ДНФ.
Например, рассмотрим следующую таблицу истинности для функции f(x, y, z):
| x | y | z | f(x, y, z) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Из данной таблицы следует, что функция f(x, y, z) истинна (1) для строк 1, 4 и 5. Соответственно, ДНФ для f(x, y, z) будет:
f(x, y, z) = (¬x ∨ ¬y ∨ ¬z) ∨ (¬x ∨ y ∨ z) ∨ (x ∨ ¬y ∨ z)
При составлении ДНФ по таблице истинности следует помнить, что каждая парная конъюнкция должна представлять все возможные варианты значений переменных — отсутствие переменных в парной конъюнкции может привести к потере информации о значении функции в определенных случаях.