Квадратичная функция — это функция вида f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c — это константы, причем a ≠ 0.

Построение графика квадратичной функции является важным навыком в математике, и его можно изучить уже в 8 классе. График квадратичной функции имеет форму параболы, которая может быть направленной вниз или вверх в зависимости от знака коэффициента a.

Для построения графика квадратичной функции необходимо выполнить несколько шагов. Во-первых, нужно найти оси симметрии параболы, которые находятся по формуле x = -b/2a. Затем можно найти координаты вершины параболы, подставив найденное значение x в уравнение функции.

Далее, можно найти дополнительные точки графика, подставив разные значения x в уравнение функции и вычислив соответствующие значения y. Полученные точки можно отметить на координатной плоскости и построить график, соединив точки отрезками.

Как построить график квадратичной функции в 8 классе

Для построения графика квадратичной функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Запишите квадратичную функцию в общем виде: f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c — коэффициенты функции.
2. Определите, является ли ветвь параболы направленной вверх или вниз. Если коэффициент a положительный, то ветвь параболы направлена вверх, если отрицательный — вниз.
3. Найдите вершину параболы, воспользовавшись формулами x = -b/(2a) и y = f(x), где x и y — координаты вершины.
4. Рассчитайте дополнительные точки на графике, например, найдите значения функции для x=0 и x=1.
5. Постройте оси координат, отметьте на них значения для x и y.
6. Отметьте на графике вершину параболы и остальные дополнительные точки. Соедините эти точки плавной кривой, получив параболу.

Пример:

• Дана функция f(x) = x^2 — 4x + 3. Коэффициенты функции: a = 1, b = -4, c = 3.
• Из коэффициента a можно определить, что ветвь параболы будет направлена вверх.
• Найдем вершину параболы: x = -(-4)/(2*1) = 2; y = f(2) = 2^2 — 4*2 + 3 = -1. Вершина параболы будет иметь координаты (2, -1).
• Подставив x = 0 и x = 1 в функцию, получим соответствующие значения y: y(0) = 0^2 — 4*0 + 3 = 3; y(1) = 1^2 — 4*1 + 3 = 0.
• Построим оси координат и отметим на них значения для x и y.
• Отметим на графике вершину параболы (2, -1) и остальные точки (0, 3) и (1, 0). Соединим эти точки плавной кривой, получив график функции.

Таким образом, построив график квадратичной функции, можно наглядно представить ее поведение и анализировать изменения в зависимости от значений коэффициентов.

Объяснение

Шаги по построению графика квадратичной функции:

1. Определить значения функции при различных значениях аргумента. Для этого можно составить таблицу значений, выбрав несколько различных значений аргумента.
2. Построить систему координат с осями X и Y.
3. Отметить на оси X значения аргумента из таблицы. На оси Y отметить значения функции, соответствующие этим значениям аргумента.
4. Соединить полученные точки. Обычно график квадратичной функции имеет форму параболы.

Пример построения графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию y = x^2 — 4x + 3. Давайте составим таблицу значений:

Теперь построим график:

Мы видим, что график квадратичной функции y = x^2 — 4x + 3 имеет форму параболы, которая открывается вверх и проходит через точку (1, 0). Таким образом, ученик сможет визуально представить, как меняется функция при изменении аргумента x.

Примеры

Для лучшего понимания, рассмотрим несколько примеров построения графиков квадратичных функций.

Пример 1:

Дана функция: f(x) = x^2 + 2x + 1

1. Начнем с построения таблицы значений функции. Запишем значения x в первый столбец и соответствующие им значения f(x) во второй столбец.

2. Выберем несколько значений для x. Например, -2, -1, 0, 1, 2.

3. Подставим эти значения в функцию и найдем соответствующие значения f(x). Например, для x = -2: f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) + 1 = 4 — 4 + 1 = 1.

4. Запишем найденные значения в таблицу:

5. Построим график, используя полученные точки. Соединим их непрерывной линией.

Пример 2:

Дана функция: f(x) = -x^2 + 3x — 2

1. Снова начнем с построения таблицы значений функции. Запишем значения x в первый столбец и соответствующие им значения f(x) во второй столбец.

2. Выберем несколько значений для x. Например, -2, -1, 0, 1, 2.

3. Подставим эти значения в функцию и найдем соответствующие значения f(x). Например, для x = -2: f(-2) = -(-2)^2 + 3(-2) — 2 = -4 — 6 — 2 = -12.

4. Запишем найденные значения в таблицу:

5. Построим график, используя полученные точки. Соединим их непрерывной линией.

Шаги

Для построения графика квадратичной функции восьмикласснику может понадобиться следующие шаги:

1. Задать значения переменной x. Выберите несколько значений переменной x, например, -2, -1, 0, 1 и 2. Эти значения помогут вам определить точки графика функции.

2. Вычислить значения функции для заданных значений x. Подставьте выбранные значения переменной x в квадратичную функцию и вычислите значения функции y для каждого значения x. Например, если функция задана формулой y = x^2 + 2x + 1, вычислите значения функции для выбранных ранее значений x.

3. Построить координатную плоскость. На листе бумаги или в специальной программе постройте координатную плоскость, где ось x горизонтальная, а ось y вертикальная. Обозначьте деления на осях и поставьте номера, чтобы было удобно отображать точки графика.

4. Нанести точки графика на плоскость. Для каждого значения x и соответствующего ему значения y поставьте точку на координатной плоскости. Например, если при x = -2, y = 5, поставьте точку с координатами (-2, 5).

5. Провести гладкую кривую через точки. Соедините точки графика квадратичной функции гладкой кривой. Убедитесь, что кривая плавно прогибается и проходит рядом с каждой точкой.

6. Проверить и построить дополнительные точки. Чтобы убедиться в правильности построения графика, можно вычислить ещё несколько значений функции и поставить соответствующие точки на график.

Следуя этим шагам, восьмиклассник сможет построить график квадратичной функции и визуально представить её поведение на координатной плоскости.