Главная » Интересно

Как построить вывод формулы из аксиом — полный гид для начинающих

На чтение 3 мин Опубликовано Обновлено

    Разбор основных аксиом логики

    АксиомаПояснение
    Аксиома идемпотентностиФормулируется как A ∨ A = A и A ∧ A = A. Эта аксиома позволяет применять операции ИЛИ и И на одинаковые высказывания.
    Аксиома коммутативностиФормулируется как A ∨ B = B ∨ A и A ∧ B = B ∧ A. Эта аксиома означает, что порядок операндов в операциях ИЛИ и И не имеет значения.
    Аксиома ассоциативностиФормулируется как (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C) и (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C). Эта аксиома позволяет менять порядок группировки операций ИЛИ и И.
    Аксиома дистрибутивностиФормулируется как A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) и A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C). Эта аксиома показывает, как связываются операции ИЛИ и И с помощью дистрибутивного закона.
    Аксиома исключения третьегоФормулируется как A ∨ ¬A = 1. Эта аксиома утверждает, что любое высказывание или его отрицание верны.
    Аксиома противоречияФормулируется как A ∧ ¬A = 0. Эта аксиома говорит о том, что невозможно одновременно иметь истинное высказывание и его отрицание.
    Аксиома идентичностиФормулируется как A ∨ 0 = A и A ∧ 1 = A. Эта аксиома подразумевает, что ИЛИ с нейтральным элементом и И с идентичным элементом не меняют значение высказывания.
    Аксиома двойного отрицанияФормулируется как ¬¬A = A. Эта аксиома утверждает, что двойное отрицание любого высказывания эквивалентно самому высказыванию.

    Одной из основных логических связей является импликация, или следование. Она выражается символом «→» и говорит о том, что из формулы А следует формула В. Другой важной логической связью является конъюнкция, или логическое «И». Она выражается символом «∧» и говорит о том, что обе формулы А и В истинны одновременно.

    Применение доказательства по индукции

    Процесс доказательства по индукции обычно состоит из двух шагов:

    1. Базисный шаг: в этом шаге утверждение доказывается для некоторого начального значения.
    2. Шаг индукции: в этом шаге утверждение доказывается для значения, следующего после предыдущего, используя предположение индукции.

    Примером применения доказательства по индукции может быть доказательство формулы для суммы арифметической прогрессии. В базисном шаге доказывается формула для n=1, а в шаге индукции доказывается, что если формула верна для n, то она верна и для n+1. Таким образом, используя принцип доказательства по индукции, можно получить доказательство формулы для любого натурального числа.

    Транзитивность – это свойство отношения, которое позволяет нам установить связь между тремя элементами. Если у нас имеются две формулы: A и B, и мы знаем, что A влечет B, и B влечет C, то мы можем заключить, что A влечет C. Это правило можно записать следующим образом:

    A |- B

    B |- C

    ——————

    A |- C

    Симметрия – это свойство отношения, которое позволяет нам менять местами элементы. Если у нас имеется формула A, и мы знаем, что A влечет B, то мы можем заключить, что B влечет A. Это правило можно записать следующим образом:

    A |- B

    ——————

    B |- A

    • Пример 1:

      1. Аксиома 1: A
      2. Аксиома 2: B
      3. Из 1 и 2: A → B (правило Modus Ponens)

    • Пример 2:

      1. Аксиома 3: C → D
      2. Предположение: C
      3. Из 2 и 3: D (правило Modus Ponens)

    • Пример 3:

      1. Аксиома 4: E
      2. Предположение: F
      3. Аксиома 5: F → G
      4. Из 2 и 3: G (правило Modus Ponens)
      5. Из 1 и 4: E → G (правило Modus Ponens)
    Оцените статью